ウィグナーの定理（未完・証明に不備あり）
以下ではこのウィグナーの定理を証明する。
ウィグナーの定理の証明は、確率の不変性(￥ref{=prob})を指導原理として行われる。証明の手順は以下の通りである。まず対称性変換後の状態ベクトルが完全正規直交系であることを確かめる。そしてそれらの積の虚部は、変換がunitaryかantiunitaryかで異なる符号を持つことを示す。次いで背理法により対称性変換はこの２つのどちらかでしかないことを示し、各々から導かれる変換が線形と反線形になることを確かめる。
まず$￥Psi_a$を完全正規直交状態ベクトル
$$(￥Psi_a,￥Psi_b)=￥delta_{ab}$$
を満たすように選ぶ。すると$￥Psi_i'$も完全正規直交状態ベクトルになることを以下に示す。(￥ref{=prob})より
$$|(￥Psi_a,￥Psi_b)|^2=|(￥Psi_a',￥Psi_b')|^2=￥delta_{ab}$$
なので$a ￥neq b$ならば$(￥Psi_a',￥Psi_b')=0$となり、$a=b$ならば$(￥Psi_a',￥Psi_a')=￥pm 1$となって、(￥ref{positivenorm})よりノルムは正なので$+1$のみが残り$￥Psi_a'$も正規直交状態ベクトルとなる。また$￥Psi_i'$が完全系を成さないとすると、全ての$￥Psi_i'$と直交する0でない状態ベクトル$￥Psi'$が存在することになる。
$$|(￥Psi_i',￥Psi')|^2=0$$
しかし変換前後で状態ベクトルは1対1対応するので（unitary変換は全射。そして内積の保存性より単射でなくてはいけない。
%もし$￥Psi_a'=U(￥Psi_a+￥Psi_b)だと内積が保存しない。$
）、変換した系に$￥Psi'$が存在するならば、変換前の系にも完全系ではない状態ベクトルが存在することになり仮定と矛盾する。よって$￥Psi_a'$も完全系を成さないといけない。
次に$￥Psi_i'$の位相を決める。まず$￥Psi_1$と$￥Psi_i(i ￥neq 1)$の重ね合わせにより
$$￥Phi_i = ￥frac{1}{￥sqrt{2}}[￥Psi_1 + ￥Psi_i]$$
を考える。
%これを変換した任意の状態ベクトル$￥Phi_i'$は状態ベクトル$￥Psi_j'$で展開できる。
%$$￥Phi_i' = ￥sum_j c_{ij}￥Psi_j'$$
%(￥ref{=prob})より$|(￥Phi_i',￥Psi_i')|^2$などを計算することで位相（展開係数）が求まる。
%$$|c_{ii}|=|c_{i1}|=￥frac{1}{￥sqrt{2}} ￥ ￥ ,￥ ￥
%c_{ij}=0(j ￥neq k,j ￥neq 1)$$
%$￥Phi_i'$と$￥Psi_i'$の位相を選ぶことで$c_{ii}$と$c_{i1}$が$1/￥sqrt{2}$となるように調整して
%$$￥Phi_i'=U￥Phi_i=￥frac{1}{￥sqrt{2}} [U￥Psi_i+U￥Psi_1]$$
%となる。
%
任意の状態ベクトル$￥Psi$を考え完全正規直交系$￥Psi_i$で展開する。
$$￥Psi=￥sum_i C_i ￥Psi_i$$
そして変換された$￥Psi'$も同様に展開して
$$￥Psi'=￥sum_i C_i' U ￥Psi_i$$
となる。
$|(￥Psi_i,￥Psi)|^2=|(U￥Psi_i,￥Psi')|^2$より
$$|C_i|^2=|C_i'|^2$$
$|(￥Phi_i,￥Psi)|^2=|(U￥Phi_i,￥Psi')|^2$より
$$|C_i+C_1|^2=|C_i'+C_1'|^2$$
この２つの比をとると
￥begin{eqnarray*}
&& |C_i|^2|C_i'+C_1'|^2=|C_i'|^2|C_i+C_1|^2 ￥￥
&￥to& C_1/C_k+C_1^*/C_k^*=C_1'/C_k'+C_1'^*/C_k'^* ￥￥
&￥to& ￥mathrm{Re}(C_k/C_1) =￥mathrm{Re}(C_k'/C_1')
￥end{eqnarray*}
これと$|C_i/C_1|^2=|C_i'/C_1'|^2$より
$$￥mathrm{Im}(C_k/C_1) = ￥pm ￥mathrm{Im}(C_k'/C_1')$$
が求まる。よって
￥begin{eqnarray}
C_i/C_1=C_i'/C_1'
￥label{unitarycondition}
￥end{eqnarray}
か
￥begin{eqnarray}
C_i/C_1=(C_i'/C_1')^*
￥label{antiunitarycondition}
￥end{eqnarray}
が求まる。
全ての$i$に対して$C_i$は上の２つのいずれかにのみ従う。そのことを以下に示す。仮にある$i$に対して$C_i/C_1=C_i'/C_1'$となり$i ￥neq j$の$j$に対して$C_j/C_1=(C_j'/C_1')^*$になるとする。またこれらの式が意味を持つために$C_i/C_1$や$C_j/C_1$は複素数であるとする。
そしてここで状態ベクトル
$$￥Gamma=￥frac{1}{￥sqrt{3}}[￥Psi_1+￥Psi_i+￥Psi_j]$$
とその変換
$$￥Gamma'=￥frac{￥alpha}{￥sqrt{3}}[￥Psi_1'+￥Psi_i'+￥Psi_j']$$
を考える。ここで$￥alpha$は$|￥alpha|=1$の位相因子である。$|(￥Gamma,￥Psi)|^2=|(￥Gamma',￥Psi')|^2$より
￥begin{eqnarray*}
&& ￥biggl|1+￥frac{C_i'}{C_1'}+￥frac{C_j'}{C_1'}￥biggl|^2
=￥biggl|1+￥frac{C_i}{C_1}+￥frac{C_j}{C_1}￥biggl|^2
￥end{eqnarray*}
この式は仮定より
￥begin{eqnarray*}
&& ￥biggl|1+￥frac{C_i}{C_1}+￥frac{C_j^*}{C_1^*}￥biggl|^2
=￥biggl|1+￥frac{C_i}{C_1}+￥frac{C_j}{C_1}￥biggl|^2 ￥￥
&￥to&
￥mathrm{Re}￥biggl(￥frac{C_i}{C_1}￥frac{C_j^*}{C_1^*}￥biggl)
=￥mathrm{Re}￥biggl(￥frac{C_i}{C_1}￥frac{C_j}{C_1}￥biggl)
￥end{eqnarray*}
となる。そして$|C_i C_j^*/C_1 C_1^*|^2=|C_i C_j/C_1^2|^2$より
￥begin{eqnarray}
￥mathrm{Im}￥biggl(￥frac{C_i}{C_1}￥biggl)￥mathrm{Im}￥biggl(￥frac{C_j}{C_1}￥biggl)=0
￥end{eqnarray}
となり、これは$C_i/C_1$や$C_j/C_1$は複素数であるとした仮定に反する。よって$C_i$は(￥ref{unitarycondition})か(￥ref{antiunitarycondition})のいずれかに従うことが分かる。
次に状態ベクトルの変換について考える。ここで位相を$C_1'=C_1$もしくは$C_1'=C_1^*$に選ぶと（Q：このように選んでいい理由は？）、状態ベクトルの変換は
￥begin{eqnarray}
￥Psi'=U(￥sum_i C_i ￥Psi_i)=￥sum_i C_i U ￥Psi_i
￥label{unitarystate}
￥end{eqnarray}
か
￥begin{eqnarray}
￥Psi'=U(￥sum_i C_i ￥Psi_i)=￥sum_i C_i^* U ￥Psi_i
￥label{antiunitarystate}
￥end{eqnarray}
となる。
%状態ベクトルはこの２つのいずれかにのみ従わなくてはいけないことを以下に示す。
ある状態ベクトルがこの２つのどちらかに従えば、他の全ての状態ベクトルも同じ方に従うことを以下に示す。
仮に状態ベクトル$￥Psi_a=￥sum_i A_i ￥Psi_i$が(￥ref{unitarystate})に従い、状態ベクトル$￥Psi_b=￥sum_i B_i ￥Psi_i$が(￥ref{antiunitarystate})に従うとする。
すると遷移確率の不変性$|(￥Psi_a',￥Psi_b')|^2=|(￥Psi_a,￥Psi_b)|^2$より
￥begin{eqnarray}
&& |￥sum_i B_i^* A_i|^2=|￥sum_i B_i A_i|^2 ￥nonumber ￥￥
&￥to& ￥sum_{i=j}|A_i|^2|B_i|^2 + 2￥sum_{i < j}￥mathrm{Re}[(A_i A_j^*)(B_i B_j^*)^*]
= ￥sum_{i=j}|A_i|^2|B_i|^2 + 2￥sum_{i < j}￥mathrm{Re}[(A_i A_j^*)(B_i B_j^*)] ￥nonumber ￥￥
&￥to&
￥sum_{i < j}[￥mathrm{Re}(A_i A_j^*)￥mathrm{Re}(B_i B_j^*)
+￥mathrm{Im}(A_i A_j^*)￥mathrm{Im}(B_i B_j^*)]
= ￥sum_{i < j}[￥mathrm{Re}(A_i A_j^*)￥mathrm{Re}(B_i B_j^*)
-￥mathrm{Im}(A_i A_j^*)￥mathrm{Im}(B_i B_j^*)] ￥nonumber ￥￥
&￥to&
￥sum_{i < j}￥mathrm{Im}(A_i A_j^*)￥mathrm{Im}(B_i B_j^*)]
= 0
￥label{imaaimbb}
￥end{eqnarray}
となる。
常に第三の状態ベクトル$￥sum_i C_i ￥Psi_i$が存在し
$$￥sum_{ij}￥mathrm{Im}(C_i C_j^*)￥mathrm{Im}(A_i A_j^*) ￥neq 0$$
かつ
$$￥sum_{ij}￥mathrm{Im}(C_i C_j^*)￥mathrm{Im}(B_i B_j^*) ￥neq 0$$
を満たす。（Q：このような状態ベクトルが存在する事の証明は？）もし$￥sum_i A_i ￥Psi_i$と$￥sum_i C_i ￥Psi_i$が異なる変換をするのならば(￥ref{imaaimbb})より$￥sum_{ij}￥mathrm{Im}(C_i C_j^*)￥mathrm{Im}(A_i A_j^*)=0$になってしまうので、この２つは同じ変換に従わなくてはいけない。$￥sum_i B_i ￥Psi_i$についても同様で、結局$￥sum_i A_i ￥Psi_i$と$￥sum_i B_i ￥Psi_i$は同じ変換性を持たなくてはいけない。
以上を用いれば、演算子$U$が線形でunitary演算子か反線形でantiunitary演算子のどちらかであることを示すことができる。
全ての状態ベクトルが(￥ref{unitarystate})に従うのならば$￥Psi=￥sum_i A_i ￥Psi_i$、$￥Phi=￥sum_i B_i ￥Psi_i$として
￥begin{eqnarray}
U(￥alpha ￥Psi + ￥beta ￥Phi)
&=& U ￥sum_i (￥alpha A_i + ￥beta B_i)￥Psi_i
= ￥sum_i (￥alpha A_i + ￥beta B_i)U ￥Psi_i
￥nonumber ￥￥
&=& ￥alpha ￥sum_i A_i U ￥Psi_i + ￥beta ￥sum_i B_i U ￥Psi_i
￥nonumber ￥￥
&=& ￥alpha U ￥Psi + ￥beta U ￥Phi
￥end{eqnarray}
$U$は線形となる。スカラー積は
￥begin{eqnarray}
(U ￥Psi, U ￥Phi)
&=& ￥sum_{ij}A_i^* B_j (U ￥Psi_i, U ￥Psi_j)
= ￥sum_{ij}A_i^* B_j
￥nonumber ￥￥
&=& (￥Psi, ￥Phi)
￥end{eqnarray}
となるので$U$はunitaryである。次に全ての状態ベクトルが(￥ref{antiunitarystate})に従うとする。今回も状態ベクトルを$￥Psi=￥sum_i A_i ￥Psi_i$、$￥Phi=￥sum_i B_i ￥Psi_i$と展開して
￥begin{eqnarray}
U(￥alpha ￥Psi + ￥beta ￥Phi)
&=& U ￥sum_i (￥alpha A_i + ￥beta B_i)￥Psi_i
= ￥sum_i (￥alpha^* A_i^* + ￥beta^* B_i^*)U ￥Psi_i
￥nonumber ￥￥
&=& ￥alpha^* ￥sum_i A_i^* U ￥Psi_i + ￥beta^* ￥sum_i B_i^* U ￥Psi_i
￥nonumber ￥￥
&=& ￥alpha^* U ￥Psi + ￥beta^* U ￥Phi
￥end{eqnarray}
となり、$U$は反線形となる。スカラー積は
￥begin{eqnarray}
(U ￥Psi, U ￥Phi)
&=& ￥sum_{ij}A_i B_j^* (U ￥Psi_i, U ￥Psi_j)
= ￥sum_{ij}A_i B_j^*
￥nonumber ￥￥
&=& (￥Psi, ￥Phi)^*
￥end{eqnarray}
となるので$U$はantiunitaryである。(Q.E.D)
￥bigskip
【別の証明】
￥bigskip
〔ウィグナーの定理〕Hilbert空間の射影$￥tau : P ￥to P'(￥tau(￥Pi)=￥Pi')$を考える。
$$￥tr (￥Pi_1 ￥Pi_2)= ￥tr (￥Pi_1' ￥Pi_2') ￥ ￥ for ￥ all ￥ ￥ ￥Pi_1,￥Pi_2 ￥in P$$
が成り立つのならば
$$￥Pi' = U ￥Pi U^{-1} ￥ ￥ for￥ all￥ ￥ ￥Pi ￥in P$$
を満たす演算子はunitary演算子かanti-unitary演算子である。■
￥bigskip
〔定理〕演算子$A$の値は$￥tr ￥Pi A ￥ ￥ for￥ all ￥ ￥ ￥Pi ￥in P$の値によって一意的に決まる。■
￥bigskip
今回も証明は確率の不変性
$$￥tr ￥Pi' ￥tau(A)=￥tr ￥Pi A$$
を指導原理として始める。
ウィグナーの定理は変換された演算子が持つ以下の３つを示すことで証明できる。
￥begin{enumerate}
￥item 線形性$$￥tau(￥lambda A + ￥mu B)=￥lambda ￥tau(A) + ￥mu ￥tau(B)$$
￥item unitary性
$$￥tau(AB)=￥tau(A)￥tau(B)$$
もしくはanti-unitary性
$$￥tau(AB)=￥tau(B)￥tau(A)$$
￥item $￥tau(A^*)=￥tau(A)^*$
￥end{enumerate}
まずは線形性
を示す。確率の不変性より
￥begin{eqnarray*}
&& ￥tr ￥tau(￥lambda A + ￥mu B) = ￥tr ￥lambda A + ￥mu B
￥￥
&& ￥tr ￥lambda ￥tau(A) + ￥mu ￥tau(B) = ￥tr ￥lambda A + ￥mu B
￥end{eqnarray*}
となるので、線形性が成り立つ。
次に３を示す。確率の不変性より
$$￥tr ￥Pi' ￥tau(A^*)= ￥tr ￥Pi A^*
= ￥tr A^* ￥Pi
= ￥overline{￥tr ￥Pi A}
= ￥overline{￥tr ￥Pi' ￥tau(A)}
= ￥tr ￥tau(A)^* ￥Pi'
= ￥tr ￥Pi' ￥tau(A)^*$$
となるので３が成立する。
次に２を示す前にweaker propertyを導入する。$￥tau(A^2)=[￥tau(A)]^2$より
￥begin{eqnarray*}
￥tau(AB)+￥tau(BA)
&=& ￥tau[(A+B)^2] - ￥tau(A^2) - ￥tau(B^2) ￥￥
&=& [￥tau(A+B)]^2 - ￥tau(A)^2 - ￥tau(B)^2 ￥￥
&=& [￥tau(A) + ￥tau(B)]^2 - ￥tau(A)^2 - ￥tau(B)^2 ￥￥
&=& ￥tau(A)￥tau(B)+￥tau(B)￥tau(A)
￥end{eqnarray*}
となる。すると２は以下と同様である。
2'. unitary性
$$￥tr ￥tau(A)￥tau(B)￥tau(C) = ￥tr ￥tau(AB)￥tau(C)
= ￥tr ￥tau(ABC) = ￥tr ABC$$
￥ ￥ ￥ ￥ ￥ anti-unitaru性
$$￥tr ￥tau(A)￥tau(B)￥tau(C) = ￥tr ￥tau(BA)￥tau(C)
= ￥tr ￥tau(CBA) = ￥tr CBA$$
以下では２'を示す。
￥begin{eqnarray*}
| ￥tr(ABC) | ^2 |
&=& ￥tr(ABC) ￥tr(CBA) ￥￥
&=& ￥tr(AB) ￥tr C ￥tr B ￥tr(AC)￥￥
&=& ￥tr(AB)￥tr(BC)￥tr(CA) ￥￥
&=& ￥tr￥tau(A)￥tau(B)￥tr￥tau(B)￥tau(C)￥tr￥tau(C)￥tau(A) ￥￥
&=& |￥tr(￥tau(A)￥tau(B)￥tau(C))|^2
￥end{eqnarray*}
より
￥begin{eqnarray*}
| ￥tr(ABC) |
&=& |￥tr(￥tau(A)￥tau(B)￥tau(C))|
￥end{eqnarray*}
また$￥tr*1+￥overline{￥tr(￥tau(A)￥tau(B)￥tau(C))}]
= ￥mathrm{Re} ￥tr(￥tau(A)￥tau(B)￥tau(C))$$
が成り立つ。上の２式より
$$￥mathrm{Im} ￥tr(ABC)
= ￥pm ￥mathrm{Im} ￥tr(￥tau(A)￥tau(B)￥tau(C))$$
が求まる。この式の$￥pm$は$A,B,C$の取り方に依存しない。つまり全ての$A,B,C$について符号は同じである。そのことを背理法で証明する。そのために関数
$$f_{￥pm}(A,B,C)=￥mathrm{Im} ￥tr[￥tau(A)￥tau(B)￥tau(C) ￥pm ￥tr(ABC)]$$
を導入する。
そして$f_{+}(A_0,B_0,C_0) ￥neq 0$を満たす$(A_0,B_0,C_0)$と$f_{-}(A_1,B_1,C_1) ￥neq 0$を満たす$(A_1,B_1,C_1)$が存在すると仮定する。
ここで$A_0=|￥Phi_0￥rangle￥langle ￥Phi_0| $、$A_1=|￥Phi_1￥rangle￥langle ￥Phi_1|$として、$A_t=|￥Phi_t￥rangle￥langle ￥Phi_t|$、$￥Phi_t=(1-t)￥Phi_0+t ￥Phi_1$を導入する。
すると$f_{￥pm}(A_t,B_t,C_t)$は$t$の多項式であり、恒等的に０にはならない。よって$f_+$と$f_-$を同時にnon-zeroにする$t$が存在し、これは$￥mathrm{Im} ￥tr(ABC)
= ￥pm ￥mathrm{Im} ￥tr(￥tau(A)￥tau(B)￥tau(C))$と矛盾する。
よって全ての$(A,B,C)$について$￥pm$はどちらか片方に統一しなくてはいけない。$+$の場合は2'のunitary性が求まり、$-$の場合は2'のanti-unitary性が求まる。
最後に演算子$U$を求める。ここで
$$S_{￥Psi}=|￥Psi￥rangle￥langle ￥Psi| ￥ ,￥ ￥
T_{￥Psi}=|￥Psi￥rangle￥langle ￥Phi|$$
を導入する。これらは以下の性質を満たす。
