不変性の定義

量子力学において系は状態ベクトルの集合で表現される。
ここではそれを$￥Psi$,$￥Phi$と記述する。
状態ベクトルは重ね合わせの原理に従い、複数の状態ベクトルの和も系の状態ベクトルの１つになる。
$$￥Psi_c = ￥Psi_a + ￥Psi_b$$
２つの状態ベクトルの内積は以下の性質を満たす複素数である。
￥begin{eqnarray}
(￥Psi_a,￥Psi_b)&=&(￥Psi_b,￥Psi_a)^* ￥￥
(￥Psi_a,C￥Psi_b)&=& C(￥Psi_a,￥Psi_b) ￥￥
(￥Psi_a,￥Psi_a)&￥geq&0
￥label{positivenorm}
￥end{eqnarray}
観測した状態ベクトル$￥Psi_a$が状態ベクトル$￥Psi_b$に遷移する確率は内積の二乗で与えられる。
￥begin{eqnarray}
P_{ab}=|(￥Psi_a,￥Psi_b)|^2
￥end{eqnarray}
状態ベクトルの変換$￥Psi_i ￥to ￥Psi_i'$に対して理論が不変であるとは、重ね合わせの原理と確率が保たれることを意味する。
￥begin{eqnarray}
￥Psi_c' &=& ￥Psi_a' + ￥Psi_b' ￥￥

(￥Psi_a,￥Psi_b)

^2&=&

(￥Psi_a',￥Psi_b')

^2

￥label{=prob}
￥end{eqnarray}
ウィグナーの定理によると、理論を不変に保つ対称性変換としてHilbert空間の演算子$U$が定義でき、
$$￥Psi_i ￥to ￥Psi_i'=U ￥Psi_i$$
この$U$はunitary演算子
￥begin{eqnarray*}
(U￥Psi_a,U￥Psi_b)&=&(￥Psi_a,￥Psi_b) ￥￥
U(A￥Psi_a+B￥Psi_b)&=& AU￥Psi_a + BU￥Psi_b
￥end{eqnarray*}
かantiunitary演算子
￥begin{eqnarray*}
(U￥Psi_a,U￥Psi_b)&=&(￥Psi_a,￥Psi_b)^* ￥￥
U(A￥Psi_a+B￥Psi_b)&=& A^*U￥Psi_a + B^*U￥Psi_b
￥end{eqnarray*}
かのどちらかである。